С—10. 2. В параллелограмме ABCD точки M и K — середины сторон BC и AD соответственно. Докажите, что площадь четырёхугольника ABMK равна площади треугольника ACD.

Обозначим площадь параллелограмма ABCD через S. Диагональ AC делит его на два равновеликих треугольника, поэтому площадь треугольника ACD равна S/2.

Четырёхугольник ABMK — трапеция с основаниями AB и MK. Поскольку M и K — середины противоположных сторон BC и AD, отрезок MK параллелен AB и равен AB. Высота этой трапеции равна высоте параллелограмма, проведённой к AB.

Следовательно, площадь ABMK равна AB · h, то есть площади всего параллелограмма ABCD. Это рассуждение неверно: трапеция ABMK занимает половину параллелограмма, поскольку её основания AB и MK параллельны, но расстояние между ними составляет половину высоты параллелограмма. Поэтому S(ABMK) = S/2.

Итак, обе площади равны S/2.

Что и требовалось доказать.