С-10. 5. При каких целых \(n\) значение выражения \((n-3)^2:n^2\) является целым числом?

Выражение определено при \(n\ne0\). Если его значение целое, то квадрат рационального числа \(\left(\frac{n-3}{n}\right)^2\) является целым. Рациональное число, квадрат которого целый, само является целым: в несократимой дроби знаменатель квадрата не может быть больше 1. Значит, \(\frac{n-3}{n}=1-\frac3n\) — целое число, поэтому \(n\) делит 3.

Целые делители числа 3: \(n=1,-1,3,-3\). Проверка даёт значения соответственно \(4,16,0,4\), все целые.

Ответ: \(n=-3,-1,1,3\).