С-3. Рациональные неравенства. Вариант 4. 1. Решите неравенство: а) (x + 4)(2 − x)(x − 5) < 0; б) x(x + 8)/((x + 2)(x − 7)) ≤ 0; в) 4/(x² − 4x) < 1/(x − 4); г) (x − 2)²(4x + 3)(x − 7) ≥ 0.

Для рациональных выражений учитываем также точки, в которых знаменатель равен нулю: они не входят в область определения.

1. а) Нули множителей: −4, 2 и 5. Знак произведения отрицателен на промежутках (−4; 2) и (5; +∞).
   Ответ: \(x\in(-4;2)\cup(5;+\infty)\).
2. б) Критические точки: −8, −2, 0 и 7; точки −2 и 7 исключены. По знакам множителей подходят промежутки [−8; −2) и [0; 7).
   Ответ: \(x\in[-8;-2)\cup[0;7)\).
3. в) ОДЗ: \(x\ne0\), \(x\ne4\). Переносим всё в левую часть: \(\frac{4}{x(x-4)}-\frac{1}{x-4}=\frac{4-x}{x(x-4)}=-\frac1x\). Поэтому \(-\frac1x<0\), откуда \(x>0\), с учётом исключения \(x=4\).
   Ответ: \(x\in(0;4)\cup(4;+\infty)\).
4. г) При \(x=2\) выражение равно нулю, поэтому эта точка подходит. При \(x\ne2\) знак определяется произведением \((4x+3)(x-7)\), которое неотрицательно при \(x\le-\frac34\) или \(x\ge7\).
   Ответ: \(x\in(-\infty;-\frac34]\cup\{2\}\cup[7;+\infty)\).