С1. Диагональ АС трапеции ABCD (AB || CD) делит ее на два подобных треугольника. Найдите площадь трапе- ции ABCD, если АВ = 25 см, ВС = 20 см, АС = 15 см.

Т.к. диагональ AC делит трапецию ABCD на два подобных треугольника, то $$ \triangle ABC \sim \triangle ACD$$.

Из подобия следует, что $$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{AD}$$.

Выразим CD:

$$\frac{AB}{AC} = \frac{BC}{CD}$$.

$$CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 20}{25} = 12$$ см.

Из подобия следует, что $$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}$$.

$$AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{15^2}{25} = \frac{225}{25} = 9$$ см.

Площадь трапеции $$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$, где h - высота трапеции.

Треугольники $$ \triangle ABC \sim \triangle ACD$$.

$$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}$$.

По формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника.

$$p = \frac{25 + 20 + 15}{2} = 30$$.

$$S_{ABC} = \sqrt{30(30-25)(30-20)(30-15)} = \sqrt{30 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 15} = \sqrt{22500} = 150$$ см^2.

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

Коэффициент подобия $$k = \frac{AB}{AC} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$$.

$$\frac{S_{ABC}}{S_{ACD}} = k^2$$.

$$S_{ACD} = \frac{S_{ABC}}{k^2} = \frac{150}{(\frac{5}{3})^2} = \frac{150}{\frac{25}{9}} = \frac{150 \cdot 9}{25} = 54$$ см^2.

$$S_{ABCD} = 150 + 54 = 204$$ см^2.

Ответ: 204 см^2.