С2. На стороне AD треугольника ACD отмечена точка В так, что АВ = BC = BD, а на стороне АС– точка Е так, что прямые ВЕ и CD параллельны. В каком отношении ВЕ делит сторону АС?

1. Пусть AB = BC = BD = a.

2. Так как AB = BC, треугольник ABC - равнобедренный. Пусть ∠BAC = ∠BCA = x.

3. Так как BC = BD, треугольник BCD - равнобедренный. Пусть ∠BCD = ∠BDC = y.

4. Поскольку BE || CD, то ∠BEC = ∠ACD = y (как соответственные углы при параллельных прямых BE и CD и секущей AC).

5. Рассмотрим треугольник ABE. ∠BAE = x.

6. ∠ABE = 180° - ∠BAC - ∠BCA = 180° - 2x.

7. Внешний угол треугольника ABE равен сумме двух других углов треугольника BCD: y = x + ∠ABE

8. ∠ABE = x+y

9. Рассмотрим треугольник ABE. ∠BAE = x и ∠BEC = y. Тогда ∠ABE = 180° - (x+y)

10. По теореме синусов $$\frac{AE}{\sin(\angle ABE)} = \frac{AB}{\sin(\angle BEC)}$$

11. $$\frac{AE}{\sin(180-(x+y))} = \frac{a}{\sin(y)}$$ => $$\frac{AE}{\sin(x+y)} = \frac{a}{\sin(y)}$$ => $$AE = a \cdot \frac{\sin(x+y)}{\sin(y)}$$

12. Рассмотрим треугольник BEC: $$CE = \frac{BC \cdot \sin(\angle EBC)}{\sin(\angle BEC)} = \frac{a \cdot \sin(\angle EBC)}{\sin(y)}$$

13. По теореме синусов $$\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)}$$ => $$\angle BDC=\angle BCD$$

Ответ: Определить отношение AE/EC, не имея дополнительных данных, невозможно.