С2. ВК – биссектриса угла АВС, АС – биссектриса угла ВАЕ, угол АКВ прямой. Какую длину должен иметь отрезок АЕ, чтобы прямые АВ и СЕ были параллельными?

Пусть ∠АВК = ∠КВС = x (так как ВК - биссектриса ∠АВС).

Пусть ∠ВАС = ∠САЕ = y (так как АС - биссектриса ∠ВАЕ).

Так как ∠АКВ = 90°, в треугольнике АВК:

∠АВК + ∠ВАК = 90°

x + ∠ВАК = 90°

∠ВАК = 90° - x

Тогда ∠ВАС = y = 90° - x.

Для того чтобы прямые АВ и СЕ были параллельны, необходимо, чтобы ∠ВАС = ∠АСЕ (как внутренние накрест лежащие углы при секущей АС).

Значит, ∠АСЕ = y = 90° - x.

Рассмотрим треугольник АВС. ∠АВС = 2x, ∠ВАС = y = 90° - x.

Тогда ∠АСВ = 180° - ∠АВС - ∠ВАС = 180° - 2x - (90° - x) = 180° - 2x - 90° + x = 90° - x = y.

Таким образом, ∠ВАС = ∠АСВ = y, и треугольник АВС - равнобедренный, значит АВ = ВС.

Теперь рассмотрим треугольник АСЕ. ∠САЕ = ∠АСЕ = y, следовательно, треугольник АСЕ также равнобедренный, и АЕ = СЕ.

Так как ∠ВАС = ∠АСЕ, то АВ || СЕ. Следовательно, для того, чтобы выполнялось условие параллельности АВ и СЕ, необходимо, чтобы АВ = АЕ.

Ответ: АЕ = АВ