С1. Сократите дробь \frac{x^{4} + 2x^{6} + x^{7}}{2 + x + x^{-2}}.

Пошаговое решение:

1. Умножим числитель и знаменатель на \(x^2\): \[\frac{x^{4} + 2x^{6} + x^{7}}{2 + x + x^{-2}} = \frac{(x^{4} + 2x^{6} + x^{7})x^{2}}{(2 + x + x^{-2})x^{2}} = \frac{x^{6} + 2x^{8} + x^{9}}{2x^{2} + x^{3} + 1}\]
2. В числителе вынесем за скобки \(x^6\): \[\frac{x^{6}(1 + 2x^{2} + x^{3})}{2x^{2} + x^{3} + 1}\]
3. Заметим, что \(2x^2 + x^3 + 1 = x^3 + 2x^2 + 1\), поэтому сократим дробь на это выражение: \[\frac{x^{6}(1 + 2x^{2} + x^{3})}{2x^{2} + x^{3} + 1} = x^{6}\]

Ответ: x⁶