С1. Диагональ AC трапеции ABCD (AB ∥ CD) делит её на два подобных треугольника. Найдите площадь трапеции ABCD, если AB = 25 см, BC = 20 см, AC = 15 см.

Диагональ AC делит трапецию на треугольники ABC и ACD. Из условия они подобны. По расположению соответствующих сторон: \(AB\leftrightarrow AC\), \(AC\leftrightarrow CD\), \(BC\leftrightarrow AD\).

Коэффициент подобия равен \(AB/AC=25/15=5/3\). Тогда

\(CD=AC\cdot\frac{5}{3}=15\cdot\frac{5}{3}=25\) см.

Из подобия также \(AD=BC\cdot\frac{5}{3}=20\cdot\frac{5}{3}=\frac{100}{3}\) см.

Площадь треугольника ABC найдём по трём сторонам: \(AB=25\), \(BC=20\), \(AC=15\). Так как \(15^2+20^2=25^2\), треугольник прямоугольный, и \(S_{ABC}=\frac12\cdot15\cdot20=150\) см².

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия. Поэтому

\(S_{ACD}=150\cdot(5/3)^2=150\cdot25/9=\frac{1250}{3}\) см².

Площадь трапеции:

\(S=150+\frac{1250}{3}=\frac{1700}{3}\) см².

Ответ: \(\frac{1700}{3}\) см².