С1. Точка P(x,y) наугад выбирается из круга x² + y² < 5. Какова вероятность того, что координаты точки P удовлетворяют неравенству y - |x| ≥ 0?

Решение:

Условие \( x^2 + y^2 < 5 \) описывает внутренность круга с центром в точке (0, 0) и радиусом \( R = \sqrt{5} \). Площадь этого круга равна \( S_{круга} = \pi R^2 = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi \).

Условие \( y - |x| \ge 0 \) можно переписать как \( y \ge |x| \). Это неравенство описывает область, лежащую выше или на графике функции \( y = |x| \).

График \( y = |x| \) состоит из двух лучей:

• \( y = x \) при \( x \ge 0 \)
• \( y = -x \) при \( x < 0 \)

Нам нужно найти площадь той части круга \( x^2 + y^2 < 5 \), которая удовлетворяет условию \( y \ge |x| \).

Область \( y \ge |x| \) внутри круга образует сектор круга. Рассмотрим, как пересекаются прямые \( y = x \) и \( y = -x \) с окружностью \( x^2 + y^2 = 5 \).

Для \( y = x \) и \( x^2 + y^2 = 5 \): \( x^2 + x^2 = 5 \) \( \Rightarrow 2x^2 = 5 \) \( \Rightarrow x^2 = \frac{5}{2} \) \( \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \).

Для \( y = -x \) и \( x^2 + y^2 = 5 \): \( x^2 + (-x)^2 = 5 \) \( \Rightarrow 2x^2 = 5 \) \( \Rightarrow x^2 = \frac{5}{2} \) \( \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \).

Прямые \( y=x \) и \( y=-x \) образуют угол \( 90^{\circ} \) (или \( \frac{\pi}{2} \) радиан) в центре круга. Область \( y \ge |x| \) находится между этими двумя прямыми и выше них. Это сектор круга, центральный угол которого равен \( 90^{\circ} \).

Площадь этого сектора равна:

\( S_{сектор} = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times S_{круга} = \frac{1}{4} \times 5\pi = \frac{5\pi}{4} \).

Вероятность того, что точка P удовлетворяет неравенству \( y - |x| \ge 0 \), равна отношению площади сектора к площади всего круга:

\( P = \frac{S_{сектор}}{S_{круга}} = \frac{\frac{5\pi}{4}}{5\pi} = \frac{1}{4} \).

Ответ: 1/4