В2. В ящике лежат 8 цветных карандашей и 2 черных. Какова вероятность того, что наугад выбранные три карандаша будут цветными?

Решение:

Всего в ящике \( 8 + 2 = 10 \) карандашей.

Нам нужно найти вероятность того, что все три выбранных карандаша будут цветными. Это означает, что мы должны выбрать 3 карандаша из 8 цветных.

Общее число способов выбрать 3 карандаша из 10 равно числу сочетаний \( C_{10}^3 \):

\( C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 \)

Число способов выбрать 3 цветных карандаша из 8 равно числу сочетаний \( C_{8}^3 \):

\( C_{8}^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56 \)

Вероятность того, что выбранные три карандаша будут цветными, равна отношению числа способов выбрать 3 цветных карандаша к общему числу способов выбрать 3 карандаша:

\( P = \frac{C_{8}^3}{C_{10}^3} = \frac{56}{120} \)

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8:

\( P = \frac{56 ":" 8}{120 ":" 8} = \frac{7}{15} \)

Ответ: 7/15