С1. В параллелограмме ABCD диагональ AC разбивает угол C на два угла: α и 3α, AC = c. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма параллельны, в треугольнике ABC углы равны:

\(\angle C=\alpha,\quad \angle A=3\alpha,\quad \angle B=180^\circ-4\alpha\).

По теореме синусов:

\(AB=\dfrac{c\sin\alpha}{\sin4\alpha},\qquad BC=\dfrac{c\sin3\alpha}{\sin4\alpha}\).

Площадь параллелограмма:

\(S=AB\cdot BC\cdot\sin\angle B\).

Так как \(\sin(180^\circ-4\alpha)=\sin4\alpha\), то

\(S=\dfrac{c\sin\alpha}{\sin4\alpha}\cdot\dfrac{c\sin3\alpha}{\sin4\alpha}\cdot\sin4\alpha\).

Ответ: \(S=\dfrac{c^2\sin\alpha\sin3\alpha}{\sin4\alpha}\).