С1. В треугольнике ABC стороны AB = 3, BC = 4, BD — биссектриса, ∠ABD = α. Найдите площадь треугольника ABD.

Так как BD — биссектриса, \(\angle ABC=2\alpha\). Обозначим \(BD=x\).

По теореме косинусов для треугольника ABD: \(AD^2=3^2+x^2-6x\cos\alpha\).

Для треугольника CBD: \(CD^2=4^2+x^2-8x\cos\alpha\). Поскольку A, D и C лежат на одной прямой, \(AD+CD=AC\); применив теорему косинусов к ABC и сопоставив выражения, получаем формулу длины биссектрисы \(BD=\frac{2\cdot AB\cdot BC\cos\alpha}{AB+BC}=\frac{24}{7}\cos\alpha\).

Тогда \(S_{ABD}=\frac12\cdot AB\cdot BD\cdot\sin\alpha=\frac12\cdot3\cdot\frac{24}{7}\cos\alpha\cdot\sin\alpha=\frac{18}{7}\sin2\alpha\).

Ответ: \(\frac{18}{7}\sin2\alpha\).