В2. Пусть AA₁ и CC₁ — медианы треугольника ABC, AA₁ = 9 см, CC₁ = 12 см. Медианы пересекаются в точке O, и ∠AOC = 150°. Найдите площадь треугольника ABC.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому \(AO=\frac23\cdot9=6\) см и \(CO=\frac23\cdot12=8\) см.

Найдём площадь треугольника AOC: \(S_{AOC}=\frac12\cdot AO\cdot CO\cdot\sin150^\circ=\frac12\cdot6\cdot8\cdot\frac12=12\text{ см}^2\).

Площадь ABC в три раза больше площади AOC: медианы разбивают ABC на шесть равновеликих треугольников, а AOC состоит из двух таких треугольников. Следовательно, \(S_{ABC}=3S_{AOC}=36\text{ см}^2\).

Ответ: 36 см².