Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательных к окружности.

Теорема о свойстве касательных к окружности:

Формулировка: Из точки, взятой вне окружности, можно провести к окружности две касательные. Отрезки касательных от этой точки до точек касания равны между собой.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром O. Из точки M, взятой вне окружности, проведены касательные MA и MB к окружности, где A и B — точки касания.

1. Проведение радиусов: Проведем радиусы OA и OB. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $$OA ot MA$$ и $$OB ot MB$$.
2. Рассмотрение треугольников: Рассмотрим треугольники $$ riangle OAM$$ и $$ riangle OBM$$.
3. Прямые углы: Углы $$ riangle OAM$$ и $$ riangle OBM$$ являются прямыми ($$ riangle OAM = riangle OBM = 90^ ext{o}$$).
4. Общий катет: Отрезок OM является общим катетом для обоих треугольников.
5. Равные катеты: OA и OB являются радиусами одной окружности, поэтому $$OA = OB$$.
6. Признак равенства прямоугольных треугольников: По двум катетам и гипотенузе (или по катету и гипотенузе, так как OM - общая гипотенуза), $$ riangle OAM = riangle OBM$$.
7. Равные отрезки: Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, то есть $$MA = MB$$.

Вывод: Отрезки касательных MA и MB равны.