6*. Сколькими способами можно представить число 9⁹ в виде произведения двух различных множителей?

Чтобы представить число $$9^9$$ в виде произведения двух различных множителей, необходимо найти количество делителей числа, а затем учесть, что множители должны быть различными.

Число $$9^9$$ можно представить как $$(3^2)^9 = 3^{18}$$.

Количество делителей числа $$3^{18}$$ равно 18 + 1 = 19. Это значит, что число $$3^{18}$$ имеет 19 делителей: $$3^0, 3^1, 3^2, ..., 3^{18}$$.

Чтобы представить число в виде произведения двух множителей, нужно взять каждый делитель и умножить его на соответствующий делитель, чтобы получить $$3^{18}$$. Например, $$3^0 \cdot 3^{18} = 3^{18}$$, $$3^1 \cdot 3^{17} = 3^{18}$$ и так далее.

Так как нужно найти количество способов представить число в виде произведения двух различных множителей, то нужно исключить случай, когда множители одинаковы. Это происходит, когда каждый множитель равен $$3^9$$, то есть $$3^9 \cdot 3^9 = 3^{18}$$.

Общее количество пар (с учетом одинаковых) равно половине общего количества делителей, если число является полным квадратом. В данном случае, количество делителей равно 19, а значит, всего пар $$\frac{19 + 1}{2} = 10$$ (включая пару, где оба множителя одинаковы).

Исключим пару с одинаковыми множителями (то есть $$3^9 \cdot 3^9$$). Тогда количество пар различных множителей равно 10 - 1 = 9. Но, так как нам нужно число способов, то умножим полученное число на 2.

Значит $$ \frac{19-1}{2} = 9$$

Ответ: 9 способами.