229 Сколько элементарных событий благоприятствует появлению трёх орлов, если монету бросают: а) 3 раза; б) 5 раз; в) 7 раз; г) п раз?

Для решения задачи используем формулу биномиального коэффициента: $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$, где n - количество бросков монеты, k - количество орлов.

a) 3 раза, 3 орла:

$$n = 3, k = 3$$

$$\binom{3}{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(1)} = 1$$

б) 5 раз, 3 орла:

$$n = 5, k = 3$$

$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$$

в) 7 раз, 3 орла:

$$n = 7, k = 3$$

$$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$$

г) n раз, 3 орла:

$$n = n, k = 3$$

$$\binom{n}{3} = \frac{n!}{3!(n-3)!}$$

Ответ: a) 1, б) 10, в) 35, г) $$\frac{n!}{3!(n-3)!}$$