2 Сколько в серии из п испытаний Бернулли элементарных событий, содержащих ровно k успехов?

В серии из $$n$$ испытаний Бернулли количество элементарных событий, содержащих ровно $$k$$ успехов, определяется биномиальным коэффициентом $$C_n^k$$, который также обозначается как $$\binom{n}{k}$$. Этот коэффициент показывает, сколькими способами можно выбрать $$k$$ успехов из $$n$$ испытаний.

Формула для вычисления биномиального коэффициента:

$$ C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

где:

• $$n$$ - общее количество испытаний.
• $$k$$ - количество успехов.
• $$n!$$ - факториал числа $$n$$, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $$n$$.
• $$k!$$ - факториал числа $$k$$, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $$k$$.
• $$(n-k)!$$ - факториал разности между $$n$$ и $$k$$, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до $$(n-k)$$.

Таким образом, количество элементарных событий, содержащих ровно $$k$$ успехов в серии из $$n$$ испытаний Бернулли, равно $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

Ответ: $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$