9. Сократите дробь \( \frac{16 + 2\sqrt{39}}{\sqrt{13} + \sqrt{3}} \)

Пошаговое решение:

1. Вынесем 2 в числителе:
   \[\frac{16 + 2\sqrt{39}}{\sqrt{13} + \sqrt{3}} = \frac{2(8 + \sqrt{39})}{\sqrt{13} + \sqrt{3}}\]
2. Представим 8 как \(\sqrt{64}\) и упростим выражение в скобках:
   \[\frac{2(\sqrt{64} + \sqrt{39})}{\sqrt{13} + \sqrt{3}}\]
   Это не приводит к упрощению. Вернемся к исходному виду. Попробуем домножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю:
3. Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{13} - \sqrt{3}\):
   \[\frac{(16 + 2\sqrt{39})(\sqrt{13} - \sqrt{3})}{(\sqrt{13} + \sqrt{3})(\sqrt{13} - \sqrt{3})} = \frac{(16 + 2\sqrt{39})(\sqrt{13} - \sqrt{3})}{13 - 3} = \frac{(16 + 2\sqrt{39})(\sqrt{13} - \sqrt{3})}{10}\]
4. Раскроем скобки в числителе:
   \[\frac{16\sqrt{13} - 16\sqrt{3} + 2\sqrt{39}\sqrt{13} - 2\sqrt{39}\sqrt{3}}{10} = \frac{16\sqrt{13} - 16\sqrt{3} + 2\sqrt{507} - 2\sqrt{117}}{10}\]
5. Упростим корни:
   \[\sqrt{507} = \sqrt{39 \cdot 13} = \sqrt{3 \cdot 13 \cdot 13} = 13\sqrt{3}\]
   \[\sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}\]
6. Подставим обратно:
   \[\frac{16\sqrt{13} - 16\sqrt{3} + 2(13\sqrt{3}) - 2(3\sqrt{13})}{10} = \frac{16\sqrt{13} - 16\sqrt{3} + 26\sqrt{3} - 6\sqrt{13}}{10}\]
7. Приведем подобные:
   \[\frac{(16 - 6)\sqrt{13} + (26 - 16)\sqrt{3}}{10} = \frac{10\sqrt{13} + 10\sqrt{3}}{10}\]
8. Сократим на 10:
   \[\frac{10(\sqrt{13} + \sqrt{3})}{10} = \sqrt{13} + \sqrt{3}\]

Ответ: \(\sqrt{13} + \sqrt{3}\)