4. Сократите дробь: б) \frac{x^2+2x-15}{x^2-9}

4. б) Сократим дробь $$\frac{x^2+2x-15}{x^2-9}$$.

1. Разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2+2x-15$$.Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = 2$$, $$c = -15$$:$$D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$
2. Найдем корни квадратного трехчлена по формуле $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$:$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$
3. Разложим числитель на множители по формуле $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни квадратного трехчлена:$$x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5)$$
4. Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов:$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$
5. Сократим дробь:$$\frac{x^2+2x-15}{x^2-9} = \frac{(x - 3)(x + 5)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 5}{x + 3}$$

Ответ: $$\frac{x + 5}{x + 3}$$