5. Упростите выражение: \frac{9a-4}{6a+7} - \frac{44-16a}{b^2+5a-14}

5. Упростим выражение: $$\frac{9a-4}{6a+7} - \frac{44-16a}{a^2+5a-14}$$.

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители. Найдем корни квадратного трехчлена $$a^2+5a-14$$.Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 1$$, $$b = 5$$, $$c = -14$$:$$D = (5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$$
2. Найдем корни квадратного трехчлена по формуле $$a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$:$$a_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$a_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$
3. Разложим знаменатель на множители по формуле $$aa^2 + ba + c = a(a - a_1)(a - a_2)$$, где $$a_1$$ и $$a_2$$ - корни квадратного трехчлена:$$a^2 + 5a - 14 = (a - 2)(a + 7)$$
4. Приведем дроби к общему знаменателю:$$\frac{9a-4}{a+7} - \frac{44-16a}{(a - 2)(a + 7)} = \frac{(9a - 4)(a - 2) - (44 - 16a)}{(a + 7)(a - 2)} = \frac{9a^2 - 18a - 4a + 8 - 44 + 16a}{(a + 7)(a - 2)} = \frac{9a^2 - 6a - 36}{(a + 7)(a - 2)}$$
5. Разложим числитель на множители. Вычислим дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a = 9$$, $$b = -6$$, $$c = -36$$:$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 36 + 1296 = 1332$$

Дальше упростить не получается.

Ответ: $$\frac{9a-4}{a+7} - \frac{44-16a}{(a - 2)(a + 7)} = \frac{(9a - 4)(a - 2) - (44 - 16a)}{(a + 7)(a - 2)} = \frac{9a^2 - 18a - 4a + 8 - 44 + 16a}{(a + 7)(a - 2)} = \frac{9a^2 - 6a - 36}{(a + 7)(a - 2)}$$