СР-5. Вариант 1. 3. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. На сторонах AB и BC отмечены точки P и K так, что BP = BK. O — точка пересечения AK и CP. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике ABC ось симметрии проходит через вершину B и середину основания AC. Отражение относительно этой оси переводит A в C, а сторону AB — в BC.

Точка P переходит в точку на BC, находящуюся на таком же расстоянии от B. Поскольку BP = BK, образом P является K. Поэтому прямая AK переходит в прямую CP, а прямая CP — в AK.

Их точка пересечения O при этом отражении остаётся на месте, то есть лежит на оси симметрии треугольника. Каждая точка этой оси равноудалена от A и C, значит, OA = OC.

Ответ: OA = OC, поэтому треугольник AOC равнобедренный.