СР-5. Вариант 2. 3. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, AM и CE — медианы треугольника. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный, где O — точка пересечения медиан треугольника.

В равнобедренном треугольнике ABC ось симметрии проходит через вершину B и середину основания AC. Отражение относительно этой оси меняет местами A и C, а стороны AB и BC.

Поэтому середина BC — точка M — переходит в середину AB — точку E. Медиана AM переходит в медиану CE. Их точка пересечения O остаётся на месте при отражении, а значит, лежит на оси симметрии треугольника.

Точка на оси симметрии равноудалена от A и C, поэтому OA = OC.

Ответ: OA = OC, поэтому треугольник AOC равнобедренный.