Средняя линия трапеции равна 30. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 5 : 3. Найдите меньшее основание трапеции.

Пусть средняя линия трапеции равна m, а основания трапеции a и b. По условию, m = 30. Диагональ делит среднюю линию на два отрезка в отношении 5:3. Пусть один отрезок равен 5x, а другой 3x. Тогда вся средняя линия равна 5x+3x=8x. Мы знаем, что средняя линия равна 30, то есть 8x = 30, откуда x = 30/8 = 3.75. Меньший отрезок средней линии равен 3x = 3*3.75 = 11.25. Известно, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Также известно, что отрезок средней линии между основанием и точкой пересечения диагонали с средней линией равен полусумме этого основания и отрезка диагонали (т.к. средняя линия делится точкой пересечения диагоналей в том же соотношении, в котором диагонали делят друг друга). Мы знаем, что меньшее основание соответствует меньшему отрезку средней линии (короче средняя линия с меньшим основанием), т.е. 11.25 = (a+0)/2. Меньшее основание a = 2 * 11.25 = 22.5. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть 30 = (a+b)/2. Мы знаем, что отрезок средней линии, соответствующей основанию b равен 5x = 5 * 3.75 = 18.75, тогда 18.75=(b+0)/2, то b = 2*18.75=37.5. Проверим нашу среднюю линию 30 = (22.5 + 37.5) /2. 30=60/2. Таким образом, меньшее основание равно 22.5.