10. Средняя плотность некоторой планеты равна средней плотности Земли, а ее радиус в два раза больше радиуса Земли. Во сколько раз первая космическая скорость для этой пла- неты больше, чем для Земли? А. 1. Б. 2. В. 1,41. Г. 4.

Применим протокол А (орфография) и протокол Е (выбор грамматической формы).

1. Определим, во сколько раз первая космическая скорость для планеты больше, чем для Земли.
2. Вспомним, что первая космическая скорость определяется по формуле: $$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$$, где:
   • $$G$$ - гравитационная постоянная,
   • $$M$$ - масса планеты,
   • $$R$$ - радиус планеты,
   • $$g$$ - ускорение свободного падения на поверхности планеты.
3. По условию, средняя плотность планеты равна средней плотности Земли: $$\rho_п = \rho_з$$ и радиус планеты в 2 раза больше радиуса Земли: $$R_п = 2R_з$$.
4. Вспомним, что плотность определяется по формуле: $$\rho = \frac{M}{V}$$, где:
   • $$M$$ - масса тела,
   • $$V$$ - объем тела.
5. Выразим массу планеты через плотность и объем: $$M = \rho V = \rho \frac{4}{3} \pi R^3$$.
6. Подставим выражение для массы в формулу первой космической скорости: $$v_1 = \sqrt{\frac{G\rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{4}{3} G \pi \rho R^2}$$.
7. Определим отношение первой космической скорости для планеты к первой космической скорости для Земли: $$\frac{v_{1п}}{v_{1з}} = \sqrt{\frac{\frac{4}{3} G \pi \rho_п R_п^2}{\frac{4}{3} G \pi \rho_з R_з^2}} = \sqrt{\frac{\rho_п R_п^2}{\rho_з R_з^2}} = \sqrt{\frac{\rho_з (2R_з)^2}{\rho_з R_з^2}} = \sqrt{4} = 2$$.
8. Вывод: первая космическая скорость для планеты больше в 2 раза, чем для Земли, что соответствует варианту Б.

Ответ: Б. 2