Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку В. На продолжении отмечена точка Д так, что ВС = BD. Найдите величину угла BCD, если угол C = 15°, а угол ВАС равен 35°.

Решение:

Дано:

\( \triangle ABC \)

\( D \) — точка на продолжении стороны \( AB \) за точкой \( B \).

\( BC = BD \)

\( \angle C = 15^{\circ} \)

\( \angle BAC = 35^{\circ} \)

Найти: \( \angle BCD \)

Решение:

1. Найдем \( \angle ABC \) в \( \triangle ABC \). Сумма углов треугольника равна 180°.

\( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle C = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 15^{\circ} = 130^{\circ} \)

2. Угол \( \angle CBD \) является развернутым углом, так как точки A, B, D лежат на одной прямой.

\( \angle CBD = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \)

3. Рассмотрим \( \triangle CBD \). По условию \( BC = BD \), значит, \( \triangle CBD \) — равнобедренный.

Углы при основании \( CD \) равны: \( \angle BCD = \angle BDC \).

Сумма углов в \( \triangle CBD \) равна 180°:

\( \angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^{\circ} \)

\( 50^{\circ} + 2 \cdot \angle BCD = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle BCD = 180^{\circ} - 50^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle BCD = 130^{\circ} \)

\( \angle BCD = \frac{130^{\circ}}{2} = 65^{\circ} \)

Ответ: 65°