950 Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Най- дите: а) | $$AB+BC$$ |; б) | $$AB+AC$$ |; в) | $$AB+CB$$ |; г) | $$BÁ - BC$$ |; д) | $$AB-AC$$.

Решение:

a) В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Вектор $$AB + BC$$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $$AB$$ и $$BC$$. Этот параллелограмм — ромб со стороной $$a$$ и углом 120° между сторонами. Длина диагонали, противоположной этому углу, равна $$a\sqrt{3}$$. Следовательно, | $$AB + BC$$ | = $$a\sqrt{3}$$.

б) Аналогично предыдущему случаю, вектор $$AB + AC$$ является диагональю ромба со стороной $$a$$ и углом 60° между сторонами. Длина диагонали, противоположной этому углу, равна $$a\sqrt{3}$$. Следовательно, | $$AB + AC$$ | = $$a\sqrt{3}$$.

в) Вектор $$AB + CB = AB - BC$$. Вектор $$AB - BC$$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $$AB$$ и $$-BC$$. Этот параллелограмм — ромб со стороной $$a$$ и углом 60° между сторонами. Длина диагонали равна $$a$$. Следовательно, | $$AB + CB$$ | = a.

г) | $$BA - BC$$ | = | $$BA + CB$$ |. Вектор $$BA + CB$$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $$BA$$ и $$CB$$. Этот параллелограмм — ромб со стороной $$a$$ и углом 120° между сторонами. Длина диагонали, противоположной этому углу, равна $$a$$. Следовательно, | $$BA - BC$$ | = $$a\sqrt{3}$$.

д) | $$AB - AC$$ | = | $$AB + CA$$ |. Вектор $$AB + CA$$ является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $$AB$$ и $$CA$$. Этот параллелограмм — ромб со стороной $$a$$ и углом 120° между сторонами. Длина диагонали, противоположной этому углу, равна $$a$$. Следовательно, | $$AB - AC$$ | = $$a$$.

Ответ:

• а) $$a\sqrt{3}$$
• б) $$a\sqrt{3}$$
• в) $$a$$
• г) $$a\sqrt{3}$$
• д) $$a$$