Стороны угла A касаются окружности с центром O радиуса r. Найдите: а) OA, если r = 5 см, ∠A=60°; б) r, если OA = 14 дм, ∠A=90°.

Разберёмся с этой геометрической задачей. Тут нам понадобятся знания о свойствах касательных и тригонометрии.

а) Найдём OA, если r = 5 см, ∠A = 60°

Пусть B — точка касания окружности со стороной угла A. Тогда треугольник ABO — прямоугольный (∠ABO = 90°), так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. В этом треугольнике ∠BAO = ∠A/2 = 30°. Катет OB (радиус r) равен 5 см.

Используем тригонометрическое соотношение: \( \sin(\angle BAO) = \frac{OB}{OA} \). Отсюда \( OA = \frac{OB}{\sin(\angle BAO)} = \frac{5}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{0.5} = 10 \) см.

Ответ: 10 см

б) Найдём r, если OA = 14 дм, ∠A = 90°

В данном случае угол A прямой, и касательные образуют квадрат с центром O и стороной, равной радиусу r. Треугольник ABO — прямоугольный и равнобедренный (∠ABO = ∠BAO = 45°). Значит, \( OA = r\sqrt{2} \). Тогда \( r = \frac{OA}{\sqrt{2}} = \frac{14}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} \) дм. Приблизительно это равно 9.9 дм.

Ответ: \( 7\sqrt{2} \) дм или ≈9.9 дм