6. Сумма двух натуральных чисел равна 19, а сумма квадратов этих чисел равна 185. Найдите эти числа.

Пусть x и y – искомые числа. По условию задачи составим систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = 19 \\ x^2 + y^2 = 185 \end{cases}$$

Выразим из первого уравнения y:

$$y = 19 - x$$

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$$x^2 + (19 - x)^2 = 185$$

$$x^2 + 361 - 38x + x^2 = 185$$

$$2x^2 - 38x + 361 - 185 = 0$$

$$2x^2 - 38x + 176 = 0$$

$$x^2 - 19x + 88 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 88 = 361 - 352 = 9$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{19 + 3}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{19 - 3}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

Найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 19 - x_1 = 19 - 11 = 8$$

$$y_2 = 19 - x_2 = 19 - 8 = 11$$

Таким образом, искомые числа 11 и 8.

Ответ: 11 и 8