273. Сумма гипотенузы CE и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины C до прямой DE.

Пусть $$CE$$ - гипотенуза, а $$CD$$ - катет прямоугольного треугольника $$CDE$$. По условию: \begin{cases} CE + CD = 31 \\ CE - CD = 3 \end{cases} Сложим эти два уравнения: $$CE + CD + CE - CD = 31 + 3$$ $$2CE = 34$$ $$CE = 17$$ Теперь подставим значение $$CE$$ в первое уравнение: $$17 + CD = 31$$ $$CD = 31 - 17$$ $$CD = 14$$ Теперь найдем длину катета $$DE$$ по теореме Пифагора: $$DE^2 = CE^2 - CD^2$$ $$DE^2 = 17^2 - 14^2$$ $$DE^2 = 289 - 196$$ $$DE^2 = 93$$ $$DE = \sqrt{93}$$ Площадь прямоугольного треугольника $$CDE$$ можно вычислить двумя способами: $$S = \frac{1}{2} cdot CD cdot DE = \frac{1}{2} cdot CH cdot DE$$, где CH - высота, опущенная на гипотенузу DE. Следовательно CH - это расстояние от вершины С до прямой DE. $$\frac{1}{2} cdot 14 cdot \sqrt{93} = \frac{1}{2} cdot DE cdot h$$, где h - искомое расстояние. $$14 \sqrt{93} = \sqrt{93} cdot CH$$, тогда $$CH = \frac{CD \cdot DE}{CE} = \frac{14 \cdot \sqrt{93}}{17}$$ $$CH = 14$$ Расстояние от вершины C до прямой DE равно высоте CH. Площадь треугольника равна половине произведения катетов, то есть $$\frac{1}{2} cdot CD cdot DE = \frac{1}{2} cdot 14 cdot \sqrt{93} = 7\sqrt{93}$$. Также площадь равна половине произведения гипотенузы на высоту, то есть $$\frac{1}{2} cdot CE cdot h$$. Таким образом, $$7\sqrt{93} = \frac{1}{2} cdot 17 cdot h$$, и $$h = \frac{14\sqrt{93}}{17}$$. Некорректное решение, поскольку CH должна быть вычислена, как $$\frac{CD \cdot DE}{CE}$$, где CH - расстояние от C до DE, CD и DE - катеты, CE гипотенуза. Так, искомое расстояние равно $$\frac{14\sqrt{93}}{17}$$ см. Ответ: $$\frac{14\sqrt{93}}{17}$$ см.