Т57. Сформулируйте свойство трапеции: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции а) параллельны, б) равны, в) перпендикулярны, г) образуют угол 120°.

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD, где AB || CD. Пусть боковая сторона — AD. Биссектрисы углов A и D пересекаются в точке O. Так как AD — секущая, а AB || CD, то сумма углов \( ∠BAD + ∠ADC = 180^{\circ} \).

По свойству биссектрисы, она делит угол пополам. Пусть \( ∠OAD = ∠BAD / 2 \) и \( ∠ODA = ∠ADC / 2 \).

Сумма углов в треугольнике AOD равна 180°:

\( ∠AOD + ∠OAD + ∠ODA = 180^{\circ} \)

\( ∠AOD + ∠BAD / 2 + ∠ADC / 2 = 180^{\circ} \)

\( ∠AOD + ( ∠BAD + ∠ADC ) / 2 = 180^{\circ} \)

\( ∠AOD + 180^{\circ} / 2 = 180^{\circ} \)

\( ∠AOD + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( ∠AOD = 90^{\circ} \)

Это означает, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом, то есть они перпендикулярны.

Ответ: в) перпендикулярны