5. Теплоизолированный сосуд разделен пополам перего- родкой. В одной половине сосуда находится идеальный газ при температуре 27 °С и давлении 2 атм, во второй половине другой идеальный газ с температурой 127 °С и при давле нии 5 атм. Найти установившуюся температуру смеси газов после того, как убрали перегородку. (Ответ: 365 К.)

Для решения этой задачи используем закон сохранения энергии и уравнение состояния идеального газа.

1. Переведем температуры в Кельвины:

$$T_1 = 27 \text{ °C} + 273.15 = 300.15 \text{ К}$$ $$T_2 = 127 \text{ °C} + 273.15 = 400.15 \text{ К}$$

2. Пусть $$V$$ - объем каждой половины сосуда. Тогда общий объем $$2V$$.

3. Запишем уравнение состояния идеального газа для каждой половины сосуда:

$$P_1V = n_1RT_1$$ $$P_2V = n_2RT_2$$

где $$n_1$$ и $$n_2$$ - количество вещества в первой и второй половинах соответственно.

4. Выразим количество вещества:

$$n_1 = \frac{P_1V}{RT_1}$$ $$n_2 = \frac{P_2V}{RT_2}$$

5. Общее количество вещества после удаления перегородки:

$$n = n_1 + n_2 = \frac{P_1V}{RT_1} + \frac{P_2V}{RT_2}$$

6. После удаления перегородки общий объем равен $$2V$$, и пусть установившаяся температура будет $$T$$. Тогда:

$$P(2V) = nRT$$

7. Подставим выражение для $$n$$:

$$P(2V) = (\frac{P_1V}{RT_1} + \frac{P_2V}{RT_2})RT$$

8. Сократим на $$V$$ и $$R$$:

$$2P = (\frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2})T$$

9. Давление после смешивания газов (из закона Дальтона):

$$P = \frac{P_1T}{2T_1} + \frac{P_2T}{2T_2}$$ $$P = \frac{2 \text{ атм} \cdot T}{2 \cdot 300.15 \text{ К}} + \frac{5 \text{ атм} \cdot T}{2 \cdot 400.15 \text{ К}}$$ $$P_1 = 2 \text{ атм} = 202650 \text{ Па}$$ $$P_2 = 5 \text{ атм} = 506625 \text{ Па}$$

10. Так как количество вещества не меняется, а объём увеличился в 2 раза, давление станет равным:

$$n = n_1 + n_2$$ $$\frac{P(2V)}{T} = \frac{P_1V}{T_1} + \frac{P_2V}{T_2}$$ $$\frac{2P}{T} = \frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2}$$

11. Решим относительно T:

$$T = \frac{2P}{\frac{P_1}{T_1} + \frac{P_2}{T_2}} = \frac{2}{\frac{P_1}{P \cdot T_1} + \frac{P_2}{P \cdot T_2}}$$

При смешивании газов, давление также изменится, поэтому используем закон сохранения энергии:

$$U = U_1 + U_2$$ $$\frac{3}{2} (P_1V + P_2V) = \frac{3}{2} (P \cdot 2V)$$ $$P = \frac{P_1 + P_2}{2} = \frac{2 \text{ атм} + 5 \text{ атм}}{2} = 3.5 \text{ атм}$$ $$T = \frac{2 \cdot 3.5 \text{ атм}}{\frac{2 \text{ атм}}{300.15 \text{ К}} + \frac{5 \text{ атм}}{400.15 \text{ К}}} = \frac{7}{\frac{2}{300.15} + \frac{5}{400.15}} \approx 364.49 \text{ К}$$

Ответ: 364.49 К