5. Теплоизолированный сосуд разделен пополам перего- родкой. В одной половине сосуда находится идеальный газ при температуре 27 °С и давлении 2 атм, во второй половине другой идеальный газ с температурой 127 °С и при давле нии 5 атм. Найти установившуюся температуру смеси газов после того, как убрали перегородку. (Ответ: 365 К.)

Дано:

• T₁ = 27 °С = 300 К
• p₁ = 2 атм
• T₂ = 127 °С = 400 К
• p₂ = 5 атм

Найти: T - установившуюся температуру смеси газов.

Решение:

По закону сохранения энергии, внутренняя энергия газов до смешивания равна внутренней энергии смеси после смешивания:

$$U₁ + U₂ = U$$

Внутренняя энергия идеального газа выражается как:

$$U = \frac{3}{2} nRT$$

где n - количество вещества (в молях).

Тогда:

$$\frac{3}{2} n₁RT₁ + \frac{3}{2} n₂RT₂ = \frac{3}{2} (n₁ + n₂)RT$$ $$n₁T₁ + n₂T₂ = (n₁ + n₂)T$$

Учитывая, что сосуд разделен пополам, объемы газов равны V.

Из уравнения состояния идеального газа pV = nRT выразим количество вещества:

$$n = \frac{pV}{RT}$$

Подставим в уравнение выше:

$$\frac{p₁V}{R} + \frac{p₂V}{R} = (\frac{p₁V}{RT₁} + \frac{p₂V}{RT₂})T$$ $$ \frac{p₁}{T₁} + \frac{p₂}{T₂} = (\frac{p₁}{RT₁} + \frac{p₂}{RT₂})T$$ $$p₁ + p₂ = (\frac{p₁}{T₁} + \frac{p₂}{T₂})T$$ $$T = \frac{p₁ + p₂}{\frac{p₁}{T₁} + \frac{p₂}{T₂}} = \frac{p₁ + p₂}{\frac{p₂T₁ + p₁T₂}{T₁T₂}} = \frac{(p₁ + p₂)T₁T₂}{p₂T₁ + p₁T₂}$$

Подставим значения:

$$T = \frac{(2 + 5) \cdot 300 \cdot 400}{5 \cdot 300 + 2 \cdot 400} = \frac{7 \cdot 300 \cdot 400}{1500 + 800} = \frac{840000}{2300} ≈ 365.22 \text{ К}$$

Ответ: 365.22 К