5. В какой трубке, запаянной с одного конца, нахо- дится столбик ртути высотой 5 см. Когда трубка распо- ложена вертикально открытым концом вверх, то длина воздушного столбика, закрытого ртутью, 10 см. Какова будет длина этого воздушного столбика, если трубку расположить открытым концом вниз? Горизонтально? Определить атмосферное давление. Представить данный процесс в координатах Р(Т) и P(V) (рис. 129).

Дано:

• h = 5 см (высота столбика ртути)
• l₁ = 10 см (длина воздушного столбика, когда трубка вертикально вверх)

Найти:

• l₂ - длина воздушного столбика, когда трубка вертикально вниз
• l₃ - длина воздушного столбика, когда трубка горизонтально
• p₀ - атмосферное давление

Решение:

Когда трубка расположена вертикально открытым концом вверх, давление воздуха в столбике равно атмосферному давлению минус давление столбика ртути:

$$p₁ = p₀ - ρgh$$

Когда трубка расположена вертикально открытым концом вниз, давление воздуха в столбике равно атмосферному давлению плюс давление столбика ртути:

$$p₂ = p₀ + ρgh$$

Когда трубка расположена горизонтально, давление воздуха в столбике равно атмосферному давлению:

$$p₃ = p₀$$

Здесь ρ - плотность ртути, g - ускорение свободного падения.

Процесс изотермический (температура не меняется), поэтому можно использовать закон Бойля-Мариотта:

$$p₁V₁ = p₂V₂ = p₃V₃$$

где V₁, V₂ и V₃ - объемы воздуха в трубке в соответствующих положениях. Объемы пропорциональны длинам столбиков воздуха (V = A*l, где A - площадь сечения трубки).

Тогда можно записать:

$$p₁l₁ = p₂l₂ = p₃l₃$$

1) Трубка вертикально вверх:

$$(p₀ - ρgh)l₁ = p₀l₃$$

2) Трубка вертикально вниз:

$$(p₀ + ρgh)l₂ = p₀l₃$$

3) Трубка горизонтально:

$$p₀l₃ = (p₀ - ρgh)l₁$$

Выразим атмосферное давление через высоту столбика ртути h:

$$ρgh = \frac{p₀ - p₁}{l₁}ρghl₁$$

Примем $$p₀=76 см. рт.ст.$$, тогда $$ρgh =5 см. рт.ст.$$ и $$p₁= 71 см. рт.ст.$$.

Для трубки расположенной открытым концом вниз, имеем: $$p₂=81 см.рт.ст$$.

Так как площадь сечения трубки одинакова,то $$\frac{p₁}{p₃} = \frac{l₃}{l₁}$$, $$\frac{p₂}{p₃} = \frac{l₃}{l₂}$$.

Отсюда $$l₃ = \frac{p₁}{p₀}l₁ =\frac{71}{76} \cdot 10 ≈ 9.34 см$$

а $$l₂ = \frac{p₀}{p₂}l₃ = \frac{76}{81} \cdot 9.34 ≈ 8.77 см$$

В координатах P(T) процесс не меняется, так как процесс изотермический и P=const

В координатах P(V) будет выглядеть следующим образом (изотерма):

      P
      |
      *-----1 (вертикально вверх)
      |
      *-------3 (горизонтально)
      |
      *----------2 (вертикально вниз)
      |
      V

Ответ: Длина воздушного столбика открытым концом вниз ≈ 8.77 см, горизонтально ≈ 9.34 см, p₀ = 76 см. рт. ст.