Тест 20. УГЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОКРУЖНОСТЬ СВОЙСТВА ХОРД И СЕКУЩИХ Вариант II AC, CD, BD – касательные к окружности с центром в точке О. ОА = √3 см, ∠ACD = 60°. Тогда длина отрезка CD равна...

Разбираемся:

1. Поскольку AC и CD - касательные к окружности с центром в точке O, то углы OAC и ODC - прямые углы (равны 90°).
2. Рассмотрим четырехугольник OACD. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, \( \angle AOC = 360^\circ - \angle OAC - \angle ODC - \angle ACD = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAC. В этом треугольнике \( \angle OAC = 90^\circ \) и \( \angle ACO = \frac{1}{2} \angle ACD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \) (поскольку OC - биссектриса угла ACD).
4. Теперь найдем длину AC, используя тангенс угла ACO: \( tg(\angle ACO) = \frac{OA}{AC} \), откуда \( AC = \frac{OA}{tg(\angle ACO)} = \frac{\sqrt{3}}{tg(30^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3 \) см.
5. Поскольку касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны, то AC = CD.

Ответ: 3 см