Тест 19. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ, ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ Вариант ІІ Уровень В AB - 2 A B касательная к окруж- ности с центром в точке О. АВ = 2 см, ∠AOB = 45°. Тогда радиус окружности равен..

Разбираемся:

1. Рассмотрим треугольник AOB. Он является равнобедренным, так как OA = OB = r (радиус окружности).
2. Проведем высоту OH к основанию AB. Так как треугольник AOB равнобедренный, высота OH также является медианой и биссектрисой.
3. Угол \( \angle AOH = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 45^\circ = 22.5^\circ \).
4. В прямоугольном треугольнике AOH: \( AH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \) см.
5. Используем определение синуса угла: \( sin(\angle AOH) = \frac{AH}{OA} \), откуда \( OA = \frac{AH}{sin(\angle AOH)} = \frac{1}{sin(22.5^\circ)} \).
6. Учитывая, что \( sin(22.5^\circ) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \), получаем: \( OA = \frac{1}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} \) см.
7. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2+\sqrt{2}} \):
8. \( OA = \frac{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}} = \frac{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{4-2}} = \frac{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{2}} = \sqrt{4+2\sqrt{2}} \) см.

Ответ: \(\sqrt{4+2\sqrt{2}}\) см