Тест № 1. 5. Представьте выражение \(\frac{\sqrt{a\sqrt{a^3}}}{\sqrt[3]{a^2}\cdot\sqrt[4]{a}}\) в виде степени с основанием \(a\). Варианты: 1) \(a^{\frac13}\); 2) \(a^{\frac12}\); 3) \(a^{\frac14}\); 4) \(a^{-\frac14}\).

В числителе: \(\sqrt{a\sqrt{a^3}}=\sqrt{a\cdot a^{\frac32}}=a^{\frac54}\). В знаменателе: \(\sqrt[3]{a^2}\cdot\sqrt[4]{a}=a^{\frac23}a^{\frac14}=a^{\frac{11}{12}}\).

Вычитаем показатели: \(a^{\frac54-\frac{11}{12}}=a^{\frac{15}{12}-\frac{11}{12}}=a^{\frac13}\). Выражение определено при \(a>0\).

Ответ: 1) \(a^{\frac13}\).