20. Тип 17 № 11166 i. Сумма двух целых чисел равна 101, а разность их квадратов простое число. Найдите эти числа.

Пусть \(x\) и \(y\) - два целых числа. По условию, \(x + y = 101\), и \(x^2 - y^2\) - простое число. Разность квадратов можно разложить на множители: \(x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)\). Так как \(x + y = 101\), то \(x^2 - y^2 = 101(x - y)\). Поскольку \(x^2 - y^2\) - простое число, а 101 - простое число, то множитель \(x - y\) должен быть равен 1, чтобы произведение было простым числом. Итак, у нас есть система уравнений: \[\begin{cases} x + y = 101 \\ x - y = 1 \end{cases}\] Сложим эти два уравнения: \[2x = 102\] \[x = 51\] Подставим значение \(x\) в первое уравнение: \[51 + y = 101\] \[y = 101 - 51 = 50\] Проверим, что разность квадратов является простым числом: \[x^2 - y^2 = 51^2 - 50^2 = (51 + 50)(51 - 50) = 101 \cdot 1 = 101\] 101 - действительно простое число. **Ответ:** Эти числа 51 и 50.