16. Тип 17 № 11047 i. Задумали трехзначное число, все цифры которого различны и первая цифра которого нечетная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 99. Найдите произведение наименьшего и наибольшего чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Пусть задуманное число имеет вид \(\overline{abc}\), где \(a\), \(b\), \(c\) - различные цифры, и \(a\) - нечетная цифра. Тогда число, записанное в обратном порядке, имеет вид \(\overline{cba}\). По условию, \(\overline{abc} - \overline{cba} = 99\). Это можно записать как: \[(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99\] \[99a - 99c = 99\] \[a - c = 1\] Так как \(a\) - нечетная цифра, то \(a\) может быть 1, 3, 5, 7 или 9. Соответственно, \(c\) будет равно 0, 2, 4, 6 или 8. Теперь нужно найти наименьшее и наибольшее числа, удовлетворяющие этим условиям. Наименьшее число: \(a\) должно быть минимальным нечетным, значит \(a = 1\), тогда \(c = 0\). Чтобы получить наименьшее число, нужно взять минимальное значение для \(b\), которое не совпадает с \(a\) и \(c\). Минимальное значение для \(b\) - это 2. Таким образом, наименьшее число: 120. Наибольшее число: \(a\) должно быть максимальным нечетным, значит \(a = 9\), тогда \(c = 8\). Чтобы получить наибольшее число, нужно взять максимальное значение для \(b\), которое не совпадает с \(a\) и \(c\). Максимальное значение для \(b\) - это 7. Таким образом, наибольшее число: 978. Теперь найдем произведение наименьшего и наибольшего чисел: \[120 \cdot 978 = 117360\] **Ответ:** Произведение наименьшего и наибольшего чисел равно 117360.