14. Тип 14 № 412206. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Пусть ломаная состоит из $$n$$ звеньев. Тогда длина $$k$$-го звена равна $$10k$$. Сумма длин всех звеньев равна \[ S_n = 10 + 20 + 30 + \dots + 10n = 10(1 + 2 + 3 + \dots + n) = 10 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 5n(n+1) \] Если последнее звено имеет длину 120, то $$10n = 120$$, откуда $$n = 12$$. Тогда длина ломаной равна \[ S_{12} = 5 \cdot 12 \cdot (12 + 1) = 5 \cdot 12 \cdot 13 = 60 \cdot 13 = 780 \] **Ответ:** 780