15. Тип 15 № 323344. Площадь прямоугольного треугольника равна $$32\sqrt{3}$$. Один из острых углов равен $$30^\circ$$. Найдите длину гипотенузы.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$, а гипотенуза равна $$c$$. Угол между катетом $$a$$ и гипотенузой равен $$30^\circ$$. Тогда катет $$b$$ лежит против угла $$30^\circ$$, и $$b = \frac{1}{2} c$$, а катет $$a = c \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} c$$. Площадь прямоугольного треугольника равна $$S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} c \cdot \frac{1}{2} c = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2$$. По условию, $$S = 32\sqrt{3}$$. Поэтому \[ \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = 32 \sqrt{3} \] \[ c^2 = 32 \cdot 8 = 256 \] \[ c = \sqrt{256} = 16 \] **Ответ:** 16