Тип 16 № 314834 Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен 60°, а радиус окружности равен 8.

Пусть B и C - точки касания. Тогда углы ABO и ACO прямые (90°), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Угол BAC равен 60° (по условию).

Рассмотрим четырехугольник ABOC. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Следовательно, угол BOC = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°.

Треугольники ABO и ACO равны (AO - общая сторона, OB = OC как радиусы, углы ABO и ACO прямые). Значит, угол BAO = CAO = 60° / 2 = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. В нем угол BAO = 30°, OB = 8 (радиус). Нужно найти AO (расстояние от A до O).

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, AO = 2 * OB = 2 * 8 = 16.

Ответ: 16