22. Тип 16 № 11038T В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе АС проведен серединный перпендикуляр. Точка пересече- ния этого перпендикуляра с катетом соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треуголь- ника в отношении 4:7 (меньшая часть при катете). Найдите этот угол.

Ответ: 30°

1. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой AC. Серединный перпендикуляр к AC пересекает катет BC в точке D. Соединим D с вершиной A. Тогда AD = CD.
2. Пусть угол, который отрезок AD делит (угол BAC), равен 4x + 7x = 11x. Тогда угол BAC = 90° - угол ACB.
3. Так как AD = CD, треугольник ADC равнобедренный, и угол DAC = углу DCA = 7x.
4. Тогда угол ADB = 180° - угол DAC - угол DCA = 180° - 7x - 7x = 180° - 14x.
5. Так как в прямоугольном треугольнике ABC угол ACB + угол BAC = 90°, и угол ACB = 7x, то угол BAC = 90° - 7x.
6. Учитывая, что угол BAC = 4x + 7x = 11x, получаем 11x = 90° - 7x.
7. 18x = 90°, x = 5°.
8. Угол BAC = 11x = 11 * 5° = 55°. Тогда угол ACB = 90° - 55° = 35°.

Ответ: 35°