24. Тип 24 № 316360 В окружности через середину О хорды АС проведена хорда BD так, что дуги АВ и СД равны. Докажите, что О — середина хорды ВD.

Пошаговое решение:

• Пусть O – середина хорды AC. Проведем радиусы OA, OC, OB, OD.
• Так как дуги AB и CD равны, то равны и стягиваемые ими хорды: AB = CD.
• Треугольники AOB и COD равны по трем сторонам (OA = OC как радиусы, AB = CD, OB = OD как радиусы).
• Из равенства треугольников следует равенство углов AOB и COD.
• Углы AOB и COD вертикальные, значит, лежат на одной прямой.
• Точка O лежит на BD и является серединой BD.

Что и требовалось доказать.