15. Тип 3 № 7219 Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 1130. Найдите задуманное число, если известно, что вто- рая из его цифр на 2 больше первой.

Решение:

Краткое пояснение: Составим систему уравнений и решим её, чтобы найти задуманное число. Пусть задуманное число имеет вид \(10a + b\), где \(a\) и \(b\) - цифры этого числа. Тогда число, полученное при перестановке цифр, будет \(10b + a\). По условию, вторая цифра на 2 больше первой, то есть \(b = a + 2\). Сумма квадратов задуманного числа и числа с переставленными цифрами равна 1130: \[(10a + b)^2 + (10b + a)^2 = 1130\] Подставим \(b = a + 2\) в уравнение: \[(10a + a + 2)^2 + (10(a + 2) + a)^2 = 1130\] \[(11a + 2)^2 + (11a + 20)^2 = 1130\] \[121a^2 + 44a + 4 + 121a^2 + 440a + 400 = 1130\] \[242a^2 + 484a + 404 = 1130\] \[242a^2 + 484a - 726 = 0\] Разделим уравнение на 22: \[11a^2 + 22a - 33 = 0\] Разделим уравнение на 11: \[a^2 + 2a - 3 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\] Корни: \[a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\] \[a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] Так как \(a\) - цифра, то \(a = 1\). Тогда \(b = a + 2 = 1 + 2 = 3\). Задуманное число: \(10a + b = 10 \cdot 1 + 3 = 13\).

Ответ: 13

Проверка за 10 секунд: 13, перестановка - 31. 13² + 31² = 169 + 961 = 1130, вторая цифра 3 на 2 больше первой 1.

Доп. профит: Всегда проверяй, соответствуют ли найденные решения условиям задачи, особенно когда имеешь дело с цифрами!