Тип 3 № 324457. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AA₁ равно 15, а диагональ BD₁ равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A₁ и C.

Пусть сторона квадратного основания равна \(a\). Диагональ \(BD_1\) образует прямоугольный треугольник с высотой призмы 15 и диагональю основания \(BD=a\sqrt2\). Поэтому

\((a\sqrt2)^2+15^2=17^2\), откуда \(2a^2=64\) и \(a\sqrt2=8\).

Плоскость через \(A\), \(A_1\) и \(C\) содержит также \(C_1\). Сечение — прямоугольник \(AA_1C_1C\) со сторонами \(AA_1=15\) и \(AC=a\sqrt2=8\). Его площадь равна \(15\cdot8=120\).

Ответ: 120.