12. Тип 12 В треугольнике $$ABC$$ углы $$A$$ и $$C$$ равны $$40^\circ$$ и $$60^\circ$$ соответственно. Найдите угол между высотой $$BH$$ и биссектрисой $$BD$$.

В треугольнике $$ABC$$ даны углы $$\angle A = 40^\circ$$ и $$\angle C = 60^\circ$$. Тогда $$\angle B = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$$. $$BD$$ - биссектриса, следовательно, $$\angle ABD = \angle DBC = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$$. Рассмотрим треугольник $$ABH$$. Так как $$BH$$ - высота, то $$\angle AHB = 90^\circ$$. Следовательно, $$\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$$. Теперь найдем угол между высотой $$BH$$ и биссектрисой $$BD$$, то есть $$\angle DBH = |\angle ABH - \angle ABD| = |50^\circ - 40^\circ| = 10^\circ$$. Ответ: $$10^\circ$$.