34. Точка D на стороне АВ треугольника АВС выбрана так, что AD=АС. Известно, что ∠ACB=124° и ∠CAB=39°. Найдите ∠DCB. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике ADC углы при основании AD и AC равны, следовательно:

$$ \angle ADC = \angle ACD = \frac{180^\circ - 39^\circ}{2} = \frac{141^\circ}{2} = 70.5^\circ $$

Смежные углы в сумме составляют 180°:

$$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 70.5^\circ = 109.5^\circ$$

Сумма углов треугольника равна 180°:

$$\angle DBC = 180^\circ - \angle BDC - \angle ACB = 180^\circ - 109.5^\circ - 124^\circ = 180^\circ - 233.5^\circ = -53.5^\circ$$

Угол не может быть отрицательным, следовательно, в условии задачи ошибка.

Если ∠ACB=24°, то

$$\angle DBC = 180^\circ - 109.5^\circ - 24^\circ = 46.5^\circ$$

Так как AD = AC, то треугольник ADC - равнобедренный, следовательно, углы при основании равны. ∠ADC = ∠ACD = (180-39)/2 = 70,5°.

∠DCB = ∠ACB - ∠ACD.

∠ACB = 39°, ∠DCB = 124° - 70,5° = 53,5°.

Ответ: 53.5