Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции АBCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Точка Е – середина боковой стороны АВ трапеции АBCD.

Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции.

Трапеция ABCD, E - середина AB. Доказать: $$S_{ECD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Доказательство:

      B ________ C
     /          \
    /            \
   E -------------  
  /                \
 /__________________\
A                    D

$$S_{ABCD} = \frac{BC+AD}{2} \cdot h$$, где h - высота трапеции.

$$S_{EBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1$$, где h1 - высота, проведенная из точки E к BC.

$$S_{EAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2$$, где h2 - высота, проведенная из точки E к AD.

$$S_{ECD} = S_{ABCD} - S_{EBC} - S_{EAD}$$ Т.к. E - середина AB, то $$h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$$.

$$S_{ECD} = S_{ABCD} - \frac{1}{2} \cdot BC \cdot \frac{h}{2} - \frac{1}{2} \cdot AD \cdot \frac{h}{2} = S_{ABCD} - \frac{BC \cdot h}{4} - \frac{AD \cdot h}{4} = \frac{BC+AD}{2} \cdot h - \frac{BC \cdot h}{4} - \frac{AD \cdot h}{4} = \frac{2BC \cdot h+2AD \cdot h - BC \cdot h - AD \cdot h}{4} = \frac{BC \cdot h + AD \cdot h}{4} = \frac{BC+AD}{4} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{BC+AD}{2} \cdot h = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$

Ч.т.д.