Точка К – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что плод треугольника KAB равна половине площади трапеции.

Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC.

Точка K - середина боковой стороны CD.

Докажем, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции ABCD.

Обозначим основания трапеции как a = AD и b = BC.

Пусть h - высота трапеции.

Тогда площадь трапеции ABCD равна

$$S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} h$$

Проведем высоту KE к основанию AD и высоту KF к основанию BC.

Тогда KE + KF = h, так как K - середина CD.

Площадь треугольника AKD равна $$S_{AKD} = \frac{1}{2} a KE$$

Площадь треугольника BKC равна $$S_{BKC} = \frac{1}{2} b KF$$

Площадь треугольника KAB равна

$$S_{KAB} = S_{ABCD} - S_{AKD} - S_{BKC} = \frac{a+b}{2}h - \frac{1}{2} a KE - \frac{1}{2} b KF = \frac{(a+b)h - aKE - bKF}{2} = \frac{(a+b)(KE+KF) - aKE - bKF}{2} = \frac{aKE+aKF+bKE+bKF-aKE-bKF}{2} = \frac{aKF + bKE}{2}$$

Рассмотрим случай, когда высота к AK и BK.

Площадь ABCD = Площадь ABK + Площадь BCK + Площадь AKD

Площадь KAB = 1/2 * AB * h (до AB)

AD + BC = a + b, AB = |a - b|

Ответ: Доказано, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции ABCD.