Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три длины которых относятся как 2:3:7. Найдите радиус окружности, если мен из сторон равна 16.

Пусть окружность разделена на дуги, длины которых относятся как 2:3:7.

Сумма этих длин равна длине окружности, то есть

$$2x + 3x + 7x = 12x = 2\pi R$$

Тогда $$x = \frac{\pi R}{6}$$

Дуги, на которые окружность разделена вершинами треугольника, равны

$$2x = \frac{\pi R}{3}, \quad 3x = \frac{\pi R}{2}, \quad 7x = \frac{7\pi R}{6}$$

Углы треугольника равны половинам центральных углов, опирающихся на соответствующие дуги:

$$\angle A = \frac{1}{2} 3x = \frac{3\pi R}{4R} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{\frac{\pi R}{2}}{\pi R} = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$$

$$\angle B = \frac{1}{2} 7x = \frac{1}{2} \cdot \frac{7\pi R}{6} = \frac{7\pi}{12} = 105^\circ$$

$$\angle C = \frac{1}{2} 2x = \frac{1}{2} \frac{\pi R}{3} = \frac{\pi}{6} = 30^\circ$$

$$A+B+C = 45+105+30 = 180^\circ$$

Пусть a, b, c - стороны треугольника, противолежащие углам A, B, C соответственно.

Наименьшая сторона лежит напротив наименьшего угла, то есть c=16.

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

$$\frac{c}{\sin C} = \frac{16}{\sin 30^\circ} = \frac{16}{1/2} = 32 = 2R$$

Тогда R = 16

Ответ: R=16